Question

在平面直角坐標系中，的兩個頂點、的坐標分別是（-1,0）,(1,0),點是的重心，軸上一點滿足，且.
（1）求的頂點的軌跡的方程；
（2）不過點的直線與軌跡交于不同的兩點、,當時，求與的關系，并證明直線過定點.

Answer 1

(1)  (2) ,直線過定點

解析試題分析：（1）設點坐標為，
因為為的重心，故點坐標為.
由點在軸上且知，點的坐標為,                   ……2分          
因為，所以，即.
故的頂點的軌跡的方程是.                  ……4分
(2)設直線與的兩交點為.
由消去得，
則,
且,.                                     ……8分
因為，所以,
故，
整理得.解得.                           ……10分
①當時=，直線過點（-1，0）不合題意舍去。
②當時，=，直線過點.
綜上所述,直線過定點.                                   ……12分
考點：本小題主要考查橢圓標準方程的求解，直線與橢圓的位置關系.
點評：求曲線方程時，不要忘記驗證是否有限制條件；解決直線與圓錐曲線的位置關系時，一般離不開直線方程與圓錐曲線方程聯立方程組，此時不要忘記驗證判別式大于零.