Question

設二次函數f（x）=x²+x，當x∈[n，n+1]（n∈N*）時，f（x）的所有整數值的個數為g（n）．
（1）試用n表示g（n）；
（2）設（n∈N*），S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，求S_n；
（3）設，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜M（M∈Z），求M的最小值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²+x，
∴g（n）=f（n+1）-f（n）+1=2n+3；
（2）∵，
∴S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n=1-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1•n²
∴；
（3）∵=，
∴，①
②
①-②＜M
∴M_min=7．
分析：（1）根據題意得g（n）=f（n+1）-f（n）+1，g（n）可求；
（2），S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，對n分奇、偶討論解決即可；
（3）=，利用錯位相減法可求T_n=b₁+b₂+…+b_n，由T_n＜M（M∈Z），可求M的最小值．
點評：本題考查二次函數的性質與數列求和的結合，著重考查數列中分類討論與轉化的思想，注重錯位相減法的考查，屬于難題．