Question

16．在某化學反應的中間階段，壓力保持不變，溫度從1°變化到5°，反應結果如下表所示（x代表溫度，y代表結果）：

x	1	2	3	4	5
y	3	5	7	10	11

（1）求化學反應的結果y對溫度x的線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（2）判斷變量x與y之間是正相關還是負相關，并預測當溫度達到10°時反應結果為多少？

Answer 1

分析 （1）由題意，計算樣本數據的平均值，求出對應回歸直線方程的系數即可；
（2）根據回歸直線方程中$\stackrel{∧}{b}$＞0，判斷是正相關，利用回歸方程計算x=10時$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）由題意：n=5，
計算$\overline x=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5{{x_i}=3}$，
$\overline y=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^5{{y_i}=7.2}$，
又$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$-5${\overline{x}}^{2}$=55-5×9=10，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-5\overline{xy}=129-5×3×7.2=21}$；
∴$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}=\frac{21}{10}=2.1$，
$\widehata=\overline y-b\overline x=7.2-2.1×3=0.9$，
即所求的回歸方程為$\widehaty=2.1x+0.9$；
（2）由于變量y的值隨溫度x的值增加而增加（$\stackrel{∧}{b}$=2.1＞0），
∴x與y之間是正相關關系；
當x=10時，$\stackrel{∧}{y}$=2.1×10+0.9=21.9，
即預測當溫度達到10°時反應結果為21.9．

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，是基礎題目．