Question

13．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，a＞0，b＞0$的離心率e=2，左，右焦點分別為F₁，F₂，點P在雙曲線的右支上，則$\frac{{|P{F_1}|}}{{|P{F_2}|}}$的最大值為3．

Answer 1

分析 由題意，設|PF₁|=m，|PF₂|=n，則m-n=2a，m+n≥2c，$\frac{m+n}{m-n}$≥$\frac{c}{a}$=2，m≤3n，即可得出結論．

解答 解：由題意，設|PF₁|=m，|PF₂|=n，則m-n=2a，m+n≥2c，
∴$\frac{m+n}{m-n}$≥$\frac{c}{a}$=2，∴m≤3n，
∴$\frac{m}{n}$≤3，
∴$\frac{{|P{F_1}|}}{{|P{F_2}|}}$的最大值為3，
故答案為3．

點評 本題考查雙曲線的定義與方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．