Question

【題目】已知都是各項不為零的數列，且滿足，，其中是數列的前項和，是公差為的等差數列.

（1）若數列的通項公式分別為，求數列的通項公式；

（2）若（是不為零的常數），求證：數列是等差數列；

（3）若（為常數，），（，），對任意，，求出數列的最大項（用含式子表達）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）代入數據得到，根據通項和前項和關系并驗證得到答案.

（2）代入數據化簡得到，退項作減法得到（），再驗證的情況得到答案.

（3）根據題意代數化簡得到，令，證明時，單調遞減，得到最大項.

（1）因為，所以，

由，得，

當時，，兩式作差，可得，

當時，滿足上式，則.

（2），當時，，

兩式相減得：，

即，即，

又，所以，即，

所以當時，，兩式相減得：，

所以數列是從第二項起成公差為的等差數列.

又當時，由，得，

當時，由，得，

故數列是公差為的等差數列.

（3）當時，，

因為，所以，即，

所以，即，即，

故從第二項起數列是等比數列，所以當時，，

，

另外由已知條件可得，又，

所以，因而，

令，則，

故對任意的時，，恒成立，

所以時，，單調遞減，中最大項為.