Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，，E、F分別為AD，BC的中點(diǎn)．以EF為折痕把四邊形EFCD折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)M的位置，點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)N的位置，且．

（1）求證：平面NEB；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）記，連接NO，證明即可證明結(jié)論；

（2）先證明平面ABFE，再以直線OE為x軸，直線OA為y軸，直線ON為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面MBE的法向量，平面NBE的一個(gè)法向量，代入向量的夾角公式，即可求得二面角的余弦值．

（1）證明：記，連接NO，

可知四邊形ABFE是菱形，所以，且O為AF，BE的中點(diǎn)，

又，所以，

又因?yàn)?/span>，NO，平面NEB，

所以平面NEB.

（2）因?yàn)?/span>，所以，，

所以，

所以，

所以，所以，

又由（1）可知：，且，AF，平面ABFE，

所以平面ABFE，以直線OE為x軸，直線OA為y軸，直線ON為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

所以，所以，，

設(shè)是平面MBE的法向量，則

，取，得，

又平面NBE的一個(gè)法向量為，

所以，

所以二面角的余弦值為．