Question

設函數f（x）=xe^kx（k≠0），
（1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）討論函數f（x）的單調性；
（3）設g（x）=x²-2bx+4，當k=1時，若對任意x₁∈R，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實數b取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=（1+kx）e^kx，由f（0）=0，且f′（0）=1，能求出曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程．
（2）令f′（x）=（1+kx）e^kx＞0，所以1+kx＞0，由此利用k的符號進行分類討論，能求出f（x）的單調性．
（3）當k=1時，f（x）在（-∞，-1）上單調遞減，在（-1，+∞）上單調遞增，所以對任意x₁∈R，有f（x₁）≥f（-1）=-

1

e

，已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以-

1

e

≥g（x₂），x₂∈[1，2]，由此能求出實數b取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=（1+kx）e^kx，
因為f（0）=0，且f′（0）=1，
所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為：y=x．（4分）
（2）令f′（x）=（1+kx）e^kx＞0，所以1+kx＞0，
當k＞0時，x＞-

1

k

，
此時f（x）在（-∞，-

1

k

）上單調遞減，在（-

1

k

，+∞）上單調遞增；
當k＜0時，x＜-

1

k

，
此時f（x）在（-∞，-

1

k

）上單調遞增，在（-

1

k

，+∞）上單調遞減．（8分）
（3）當k=1時，f（x）在（-∞，-1）上單調遞減，在（-1，+∞）上單調遞增，
所以對任意x₁∈R，有f（x₁）≥f（-1）=-

1

e

，
又已知存在x₂∈[1，2]，
使f（x₁）≥g（x₂），所以-

1

e

≥g（x₂），x₂∈[1，2]，
即存在x∈[1，2]，使g（x）=x²-2bx+4≤-

1

e

，
即2b≥x+

4+e-1

x

，
即因為當x∈[1，2]，x+

4+e-1

x

∈[4+

1

2e

，5+

1

e

]，
所以2b≥4+

1

2e

，即實數b取值范圍是b≥

1

4e

．（14分）

點評：本題考查切線方程的求法，考查函數單調性的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答．