Question

某菜園要將一批蔬菜用汽車從城市甲運(yùn)至亞運(yùn)村乙，已知從城市甲到亞運(yùn)村乙只有兩條公路，且運(yùn)費(fèi)由菜園承擔(dān)．若菜園恰能在約定日期（×月×日）將蔬菜送到，則亞運(yùn)村銷售商一次性支付給菜園20萬(wàn)元； 若在約定日期前送到，每提前一天銷售商將多支付給菜園1萬(wàn)元； 若在約定日期后送到，每遲到一天銷售商將少支付給菜園1萬(wàn)元．為保證蔬菜新鮮度，汽車只能在約定日期的前兩天出發(fā)，且只能選擇其中的一條公路運(yùn)送蔬菜，已知下表內(nèi)的信息：

統(tǒng)計(jì)信息 汽車 行駛路線	不堵車的情況下到達(dá)亞運(yùn)村乙所需時(shí)間（天）	堵車的情況下到達(dá)亞運(yùn)村乙所需時(shí)間（天）	堵車的概率	運(yùn)費(fèi)（萬(wàn)元）
公路1	2	3	0.1	1.6
公路2	1	4	0.5	0.8

（ 注：毛利潤(rùn)=銷售商支付給菜園的費(fèi)用-運(yùn)費(fèi)）
（Ⅰ） 記汽車走公路1時(shí)菜園獲得的毛利潤(rùn)為ξ（單位：萬(wàn)元），求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅱ） 假設(shè)你是菜園的決策者，你選擇哪條公路運(yùn)送蔬菜有可能讓菜園獲得的毛利潤(rùn)更多？

Answer 1

分析：（I）汽車走公路1時(shí)果園獲得的毛利潤(rùn)為ξ，ξ的可能取值是18.4，17.4，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件算出概率，進(jìn)而寫出分布列并且求出期望．
（II）汽車走公路1時(shí)果園獲得的毛利潤(rùn)為ξ，ξ的可能取值是20.2，17.2，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件算出概率，進(jìn)而寫出分布列并且求出期望，把兩條公路的所獲得毛利潤(rùn)的期望進(jìn)行比較，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）汽車走公路1時(shí)，不堵車時(shí)菜園獲得的毛利潤(rùn)ξ=20-1.6=18.4萬(wàn)元；
堵車時(shí)菜園獲得的毛利潤(rùn)ξ=20-1.6-1=17.4萬(wàn)元； 
所以汽車走公路1時(shí)菜園獲得的毛利潤(rùn)ξ的分布列為

ξ	18.4	17.4
P	9 10	1 10

…（4分）
所以 Eξ=18.4×

9

10

+17.4×

1

10

=18.3萬(wàn)元             …（6分）
（II）設(shè)汽車走公路2時(shí)菜園獲得的毛利潤(rùn)為η，
不堵車時(shí)菜園獲得的毛利潤(rùn)η=20-0.8+1=20.2萬(wàn)元；
堵車時(shí)菜園獲得的毛利潤(rùn)η=20-0.8-2=17.2萬(wàn)元；
所以 汽車走公路1時(shí)菜園獲得的毛利潤(rùn)η的分布列為

η	20.2	17.2
P	1 2	1 2

…（9分）
所以Eη=20.2×

1

2

+17.2×

1

2

=18.7 萬(wàn)元             …（11分）
因?yàn)镋ξ＜Eη，
所以 選擇公路2運(yùn)送蔬菜有可能讓菜園獲得的毛利潤(rùn)更多 …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查比較兩個(gè)變量的期望值，得到最優(yōu)思路，是一個(gè)利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的題目．