Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，PA=2．
（1）求證：AD⊥平面PQB；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積
（3）在線段PC上是否存在點M，使PA∥平面MQB；若存在，求出PM：PC的值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）利用線面垂直的判定定理證明PQ為此四棱錐的高即可；
（3）利用線面平行的判定定理即可找出和證明．

解答：解：（1）證明：連BD，四邊形ABCD菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD為正三角形，
又Q為AD中點，∴AD⊥BQ．
∵PA=PD，Q為AD的中點，AD⊥PQ．
又BQ∩PQ=Q，
∴AD⊥平面PQB．
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ?平面PAD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，PQ是四棱P-ABCD的高，
∵PQ=

3

，S_菱形ABCD=2²×sin60°=2

3

，
∴V_{四棱錐P-ABCD}=

1

3

×2

3

×

3

=2．
（3）存在，當

PM

PC

=

1

3

時，PA∥平面MQB．
由AQ∥BC可得：

AN

NC

=

AQ

BC

=

1

2

，
∵

PM

MC

=

1

2

，∴PA∥MN，
又PA?平面MQB，MN?平面MQB．
∴PA∥平面MQB．

點評：熟練掌握線面平行和垂直的判定定理及性質(zhì)定理是解題的關鍵．