Question

如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網，A₁、A₂、A₃、A₄是道路網中位于一條對角線上的4個交匯處，今在道路網M、N處的甲、乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，同時以每10分鐘一格的速度分別向N，M處行走，直到到達N，M為止．
（1）求甲經過A₂的概率；
（2）求甲、乙兩人相遇經A₂點的概率；
（3）求甲、乙兩人相遇的概率．

Answer 1

解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
試驗發生包含的事件
滿足條件的事件是甲經過A₂到達N，
可分為兩步：
第一步：甲從M經過A₂的方法數：C₃¹種；
第二步：甲從A₂到N的方法數：C₃¹種；
∴甲經過A₂的方法數為（C₃¹）²；
∴甲經過A₂的概率．

（2）由（1）知：甲經過A₂的方法數為：（C₃¹）²；
乙經過A₂的方法數也為：（C₃¹）²；
∴甲、乙兩人相遇經A₂點的方法數為：（C₃¹）⁴=81；
∴甲、乙兩人相遇經A₂點的概率．

（3）甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在A₁、A₂、A₃、A₄處相遇，
他們在A_i（i=1，2，3，4）相遇的走法有（C₃^i-1）⁴種方法；
∴（C₃⁰）⁴+（C₃¹）⁴+（C₃²）⁴+（C₃³）⁴=164
∴甲、乙兩人相遇的概率．
分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是C₆³，滿足條件的事件是甲經過A₂到達N，可分為兩步：甲從M經過A₂的方法數C₃¹種；甲從A₂到N的方法數C₃¹種；根據分步計數原理得到結果數，求出概率．
（2）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件數是C₆³C₆³，甲經過A₂的方法數為（C₃¹）²；乙經過A₂的方法數也為（C₃¹）²，得到甲、乙兩人相遇經A₂點的方法數為（C₃¹）⁴，根據概率公式得到結果．
（3）甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在A₁、A₂、A₃、A₄處相遇，他們在A_i（i=1，2，3，4）相遇的走法有（C₃^i-1）⁴種方法，根據分類計數原理得到結果數，求得概率．
點評：本題考查等可能事件的概率，考查分類計數原理，考查分步計數原理，是一個綜合題，注意題目中出現的對兩個人相遇的理解．