Question

一束光線通過點M(1-2

2

，-2

2

)射到x軸上，再反射到圓C：（x-1）²+（y+4）²=8上，求反射點在x軸上的橫坐標的活動范圍（　　）

• A．（0，1 ）
• B．（1-2

  2

  ，0）
• C．[1-2

  2

  ，1]
• D．（1，2

  2

  -1）

Answer 1

分析：當反射光線的斜率存在時，設其方程為：kx-y-k+2

2

k+2

2

=0，當反射光線與圓相切時為反射點的最大范圍，由點到直線的距離公式可得k的值，再檢驗斜率不存在時直線也與圓相切，進而得到答案．

解答：解：由題意可得：M點關于x軸的對稱點為M′（1-2

2

，2

2

），因為反射光線的反向延長線經過M′（1-2

2

，2

2

），
當反射光線的斜率存在時，設其方程為：y-2

2

=k（x-1+2

2

 ），
整理可得 kx-y-k+2

2

k+2

2

=0，
當反射光線與圓相切時，圓心（1，-4）到反射光線的距離等于半徑，即d=2

2

=

|k+4-k+2 2 k+2 2 |

k2+1

，解得 k=-1．
此時反射光線的方程為x+y-1=0，所以反射點為（1，0）．
當斜率不存在時，反射光線所在的直線的方程為 x=1-2

2

，經檢驗也與圓相切，此時，反射點的坐標為（1-2

2

，0）．
綜上可得，反射點的橫坐標的取值范圍是[1-2

2

，1]，
故選C．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握直線與圓的位置關系，以及直線方程的一般式與兩點式，考查點到直線的距離公式等知識點，此題綜合性較強，屬于中檔題．