Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，點D是棱BC的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅲ）求平面AC₁D與平面ACC₁A₁所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先證明AA₁⊥平面ABC，可得CC₁⊥AD，再利用線面垂直的判定定理，即可證明AD⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）利用三角形中位線的性質，證明A₁B∥OD，利用線面平行的判定定理證明A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅲ）建立空間直角坐標系，求出平面AC₁D與平面ACC₁A₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求銳二面角的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：因為側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形
所以AA₁⊥AC，AA₁⊥AB
所以AA₁⊥平面ABC  …（1分）
因為AD?平面ABC，AA₁∥CC₁，所以CC₁⊥AD  …（2分）
又因為AB=AC，D為BC中點，所以AD⊥BC     …（3分）
因為CC₁∩BC=C，所以AD⊥平面BCC₁B₁；    …（4分）
（Ⅱ）證明：連結A₁C，交AC₁于點O，連結OD
因為ACC₁A₁為正方形，所以O為AC₁中點
又D為BC中點，所以OD為△A₁BC中位線
所以A₁B∥OD   …（6分）
因為OD?平面AC₁D，AB₁?平面AC₁D
所以A₁B∥平面AC₁D…（8分）
（Ⅲ）解：因為側面ABB₁A₁，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°
所以AB，AC，AA₁兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系A-xyz
設AB=1，則A（0，0，0），
∴=，=（0，1，1）…（9分）
設平面AC₁D的法向量為=（x，y，z），則有，
∴，∴x=-y=z
取x=1，得=（1，-1，1）…（10分）
又因為AB⊥平面ACC₁A₁
所以平面ACC₁A₁的法向量為…（11分）
∴cos＜＞===       …（12分）
所以，平面AC₁D與平面ACC₁A₁所成的銳二面角的余弦值為…（13分）
點評：本題考查線面垂直，線面平行，考查面面角，考查空間向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．