Question

（06年湖南卷文）（14分）

已知函數.

       （Ｉ）討論函數的單調性；

       （Ⅱ）若曲線上兩點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

解析：（Ⅰ）由題設知.

令.

當（i）a>0時，

若，則，所以在區間上是增函數；

若，則，所以在區間上是減函數；

若，則，所以在區間上是增函數；

（i i）當a＜0時，

若，則，所以在區間上是減函數；

 

若，則，所以在區間上是減函數；

若，則，所以在區間上是增函數；

若，則，所以在區間上是減函數.

（Ⅱ）由（Ⅰ）的討論及題設知，曲線上的兩點A、B的縱坐標為函數的極值，且函數在處分別是取得極值，.

因為線段AB與x軸有公共點，所以.

即.所以.

故.

解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.

即所求實數a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].