Question

設f（k）是滿足不等式x²-3•g（k）•x+2g²（k）≤0的自然數x的個數，其中g（k）=2^k-1（k∈N^*）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ） 求f（k）的解析式；
（Ⅲ）記Sn=，令P_n=n²+n-1（n∈N^*），試比較S_n與P_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當k=1時，原不等式即x²-3x+2≤0，再結合x∈N^*，可求；
（Ⅱ）將原不等式進行等價變形，再考慮其自然數x的個數，可得f（k）的解析式；
（Ⅲ）先猜后證，利用數學歸納法進行證明．
解答：解：（Ⅰ）當k=1時，原不等式即x²-3x+2≤0，解得1≤x≤2，∵x∈N^*，∴x=1，2即f（1）=2（2分）
（Ⅱ）原不等式等價于（x-2^k）（x-2^k-1）≤0，∴2^k-1≤x≤2^k..（4分）
∴f（k）=2^k-1+1．（6分）（8分）
（Ⅲ）∵，∴S_n-P_n=2ⁿ-n²
n=1時，2¹-1²＞0；n=2時，2²-2²=0，n=3時，2³-3²0（9分）
猜想：n≥5時，S_n＞P_n，下面用數學歸納法給出證明
①當n=5時，S₅＞P₅，已證．（10分）
②假設n=k（k≥5）時結論成立即2^k＞k²
那么n=k+1時，2^k+1-（k+1）²＞2k²-k²-2k-1=（k-1）²-2
在k≥5范圍內，（k-1）²-2＞0恒成立，則2^k+1＞（k+1）²，即S_k+1＞P_k+1
由①②可得，猜想正確，即n≥5時，S_n＞P_n，．（13分）
綜上所述：當n=2，4時，Sn=Pn，；當n=3時，Sn＜P_n；當n=1或n≥5時，S_n＞P_n，；（14分）．
點評：本題求解的關鍵是正確理解題意，同時考查了歸納猜想的思想，注意數學歸納法的證題步驟，