Question

已知函數f(x)=

x 2+ax+a

x

，且a＜1
（1）當x∈[1，+∞）時，判斷f（x）的單調性并證明；
（2）設函數g（x）=x•f（x）+|x²-1|+（k-a）x-a，k為常數..若關于x的方程g（x）=0在（0，2）上有兩個解x₁，x₂，求k的取值范圍，并比較

1

x1

+

1

x2

與4的大小．

Answer 1

分析：（1）任取1≤x₁＜x₂，根據實數的性質，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而判斷f（x₁）與f（x₂）的大小關系，進而根據函數單調性的定義，可得答案．
（2）利用零點分段法，可將函數g（x）的解析式化為分段函數的形式，結合函數的單調性，及二次函數的圖象和性質，可得0＜x₁≤1＜x₂＜2，進而求出k的取值范圍，及

1

x1

+

1

x2

與4的大小．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

x 2+ax+a

x

=x+

a

x

+a
任取1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞1，
又∵a＜1
得x₁•x₂-a＞0
則f（x₁）-f（x₂）=（x1+

a

x1

+a）-（x2+

a

x2

+a）=x1-x2+

a

x1

-

a

x2

=(x1-x2)+

x1•x2-a

x1•x2

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
故函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增
（2）函數g（x）=x•f（x）+|x²-1|+（k-a）x-a=x²+kx+|x²-1|=

2x2+kx-1，|x|＞1 kx+1，|x|≤1

，
故函數g（x）在（0，1]上是單調函數，故方程g（x）=0在（0，1]上到多一個解
方程g（x）=0在（0，2）上有兩個解x₁，x₂，不妨設0＜x₁＜x₂＜2
若1＜x₁＜x₂＜2，則x₁•x₂=-

1

2

＜0，不符合題意，
∴0＜x₁≤1＜x₂＜2，
由g（x₁）=0得：k=-

1

x1

，故k≤-1；
由g（x₂）=0得：k=

1

x2

-2x₂，故-

7

2

＜k＜-1
綜上當-

7

2

＜k＜-1時，方程g（x）=0在（0，2）上有兩個解
∵0＜x₁≤1＜x₂＜2，
∴k=-

1

x1

，2x₂²+kx₂-1=0
消去k得，2x₁x₂²-x₁-x₂=0
即

1

x1

+

1

x2

=2x₂，
∵x₂＜2
∴

1

x1

+

1

x2

＜4

點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，不等關系與不等式，其中熟練掌握單調性的證明過程判斷出函數的單調性是解答的關鍵．