Question

已知函數f（x）=mx³-x的圖象上以（1，n）為切點的切線的傾斜角為

π

4

．
（1）求m，n的值；并求函數f（x）的單調區間；
（2）是否存在最小整數k；使得不等式f（x）≤k-1995對于區間[-1，3]恒成立？若存在，請求出最小整數k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=mx³-x的圖象上以（1，n）為切點的切線的傾斜角為

π

4

．由此條件建立兩個方程求求m，n的值；
（2）是否存在最小整數k；使得不等式f（x）≤k-1995對于區間[-1，3]恒成立可以轉化為求f（x）+1995在區間[-1，3]的最值問題．求出函數f（x）+1995在區間[-1，3]的最大值，再由此判斷出參數k的最小值即可．

解答：解：由已知f′（x）=3mx²-1，則

f′(x)=3m-1=tan π 4 =1 f(1)=m-1=n

，得

m= 2 3 n=- 1 3

，
∴f′（x）=2x²-1．當f′（x）＞0，即2x²-1＞0，得當x＞

2?

2

或x＜-

2?

2

時，f（x）單調遞增，故當-

2

2

＜x＜

2

2

時，f（x）單調遞減．
∴函數f（x）的單調增區間是(-∞，-

2?

2

)，(

2?

2

，+∞)，減區間是(-

2?

2

，

2?

2

)
（2）設存在最小整數k，使得f（x）≤k-1995，在區間[-1，3]恒成立，則?x∈[-1，.3]，有

2

3

x3-x+1995≤k恒成立，
令g(x)=

2

3

x3-x+1995，只須g（x）_max≤k，
此時g′（x）=2x²-1，
由（1）知函數g（x）在區間[-1，-

2?

2

)單調遞增，在(-

2?

2

，

2?

2

)單調遞減．
∴當x=-

2

2

時，g（x）取得極大值；
g(-

2

2

)=

2

3

+1995，又g(-1)=

1

3

+1995，g(3)=15+1995
∴函數在[-1，3]的最大值為g（3）=2010
∴使得不等式f（x）≤k-1995對于區間[-1，3]恒成立最小正整數k=2010

點評：本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，解題的關鍵是利用導數研究出函數的單調性，判斷出函數的最值，本題第二小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉化最值問題來求解，本題即轉化為用導數求函數在閉區間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數的取值．