Question

已知圓C過點P（1，1），且與圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．
（1）求圓C的方程；
（2）直線l過點Q（1，0.5），截圓C所得的弦長為2，求直線l的方程；
（3）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中圓C過點P（1，1），且圓M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱，我們可以求出圓C的方程，然后判斷圓心距CM與兩圓半徑和與差的關系，即可得到答案．
（2）分直線l的斜率不存在和存在兩種情況，根據直線截圓C的弦長等于2，分別求得直線l的方程．
（3）由已知中直線PA和直線PB與x軸分別交于點G、H，且∠PGH=∠PHG，可得直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，設PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），求出A，B坐標后，代入斜率公式，判斷直線OP和AB是否相等，即可得到答案．
解答：解：（1）由題意可得點C和點M（-2，-2）關于直線x+y+2=0對稱，且圓C和圓M的半徑相等，都等于r．
設C（m，n），由•（-1）=-1，且  求得 ，
故原C的方程為 x²+y²=r²．
再把點P（1，1）代入圓C的方程，求得r=，故圓的方程為 x²+y²=2．
（2）直線l過點Q（1，0.5），當直線l的斜率不存在時，方程為x=1，截圓C得到的弦長等于2=2，滿足條件．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y-0.5=k（x-1），即 kx-y+0.5-k=0，則圓心C到直線l的距離d=，
再由弦長公式可得 2=2，解得k=-，故所求的直線方程為-x-y++=0，即 3x+4y-5=0．
綜上可得，直線l的方程為 x=1，或 3x+4y-5=0．
（3）過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，
則得直線OP和AB平行，理由如下：
由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，故可設PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1）．
由 ，得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0，
因為P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得x_A=．…（12分）
同理，所以x_B=，由于AB的斜率k_AB====1=k_OP （OP的斜率），（15分）
所以，直線AB和OP一定平行．
點評：本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，點到直線的距離公式，關于直線對稱的圓的方程，圓與圓位置關系及其判定，其中根據已知條件求出圓C的方程是解答本題的關鍵，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．