Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（Ⅰ）求證：B₁D⊥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-A₁C₁B的體積；
（Ⅲ）求異面直線BC₁與AA₁所成的角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連BD、B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，因BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁底面A₁B₁C₁D₁，則A₁C₁⊥BB₁，從而A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，
則B₁D⊥A₁C₁，同理可證：B₁D⊥BC₁，且A₁C₁∩BC₁=C₁，滿足線面垂直的判定定理，則B₁D⊥平面A₁C₁B；
（Ⅱ）根據(jù)VB1-A1C1B=VB-A1B1C1=

1

3

S△A1B1C1?BB1進(jìn)行求解即可；
（Ⅲ）AA₁∥BB₁，則異面直線BC₁與AA₁所成的角就是BC₁與BB₁所成的角，從而求得∠B₁BC₁．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，連BD、B₁D₁，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，（2分）
又∵BB₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁
底面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁C₁⊥BB₁，
∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，（4分）
∴B₁D⊥A₁C₁，同理可證：B₁D⊥BC₁，且A₁C₁∩BC₁=C₁，
故B₁D⊥平面A₁C₁B．（5分）
（Ⅱ）解：VB1-A1C1B=VB-A1B1C1=

1

3

S△A1B1C1?BB1
=

1

3

•

1

2

•1•1•1=

1

6

．（9分）
（Ⅲ）解：∵AA₁∥BB₁，
∴異面直線BC₁與AA₁所成的角就是BC₁與BB₁所成的角，即∠B₁BC₁=45°．（13分）
故異面直線BC₁與AA₁所成的角為45°．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系，以及幾何體的體積和異面直線所成角等有關(guān)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．