Question

如圖所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長均為a，D是側棱CC₁的中點．
（1）求證：平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）求異面直線AB₁與BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB₁D與平面ABC所成二面角（銳角）的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AB₁的中點E，AB的中點F．連接DE、EF、CF．證明DE的平行線CF垂直平面ABB₁A₁，內的相交直線AB，BB₁，即可證明平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）建立空間直角坐標系，求出中的相關向量，直接求異面直線AB₁與BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB₁D的一個法向量，以及平面ABC的一個法向量，利用向量的數量積求平面AB₁D與平面ABC所成二面角（銳角）的大小．
解答：解：（1）證明：取AB₁的中點E，AB的中點F．連接DE、EF、CF．
故．又．
∴四邊形CDEF為平行四邊形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
△ABC為正三角形．CF?平面ABC，
∴CF⊥BB₁，CF⊥AB，而AB∩BB₁=B，∴CF⊥平面ABB₁A₁，
又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB₁A₁．
又DE?平面AB₁D．所以平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．（4分）

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則
設異面直線AB₁與BC所成的角為θ，則，
故異面直線AB₁與BC所成角的余弦值為，

（3）由（2）得，
設n=（1，x，y）為平面AB₁D的一個法向量．
由得，，
即（6分）
顯然平面ABC的一個法向量為m（0，0，1）．
則，故．
即所求二面角的大小為．（14分）
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，二面角及其度量，考查空間想象能力，計算能力，是中檔題．