Question

已知函數
（1）若函數在處的切線方程為，求的值；
（2）若函數在為增函數，求的取值范圍；
（3）討論方程解的個數，并說明理由。

Answer 1

（1） ；（2）；（3）當時，方程無解；當時，方程有惟一解； 當時方程有兩解。

（1）因為： ，又在處的切線方程為

所以   解得： 
（2）若函數在上恒成立。則在上恒成立，
即：在上恒成立。所以有
（3）當時，在定義域上恒大于，此時方程無解；
當時，在上恒成立，所以在定義域上為增函數。
，，所以方程有惟一解。
當時，
因為當時，，在內為減函數；
當時，在內為增函數。
所以當時，有極小值即為最小值。
當時，，此方程無解；
當時，此方程有惟一解。
當時，
因為且，所以方程在區間上有惟一解，
因為當時，，所以  
所以  
因為 ，所以
所以 方程在區間上有惟一解。
所以方程在區間上有惟兩解。
綜上所述：當時，方程無解；當時，方程有惟一解；
當時方程有兩解。