Question

14．如圖，在直三棱柱（側棱垂直于底面的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=B₁C₁=a，A₁B₁=A₁A=2，點D，E分別為棱B₁B，A₁B₁的中點．
（Ⅰ）證明：AD⊥平面BEC₁；
（Ⅱ）當a為何值時，異面直線AD與BC所成的角為60°？

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明C₁E⊥A₁B₁．C₁E⊥AD．AD⊥BE．然后證明AD⊥平面BEC₁．
（Ⅱ）取C₁C的中點F，連結DF，AF．說明∠ADF為異面直線AD與BC所成的角，在△ADF中，由余弦定理，解得a的值．

解答 解：（Ⅰ）因為三棱柱是直棱柱，
所以平面A₁B₁C₁⊥平面A₁B₁BA．
因為A₁C₁=B₁C₁，E為A₁B₁的中點，
所以C₁E⊥A₁B₁．
所以C₁E⊥平面A₁B₁BA．
因為AD?平面A₁B₁BA，
所以C₁E⊥AD．
因為A₁B₁=A₁A=2，點D，E分別為棱B₁B，A₁B₁的中點，
所以AD⊥BE．
因為C₁E?平面BEC₁，BE?平面BEC₁，C₁E∩BE=E，
所以AD⊥平面BEC₁．…（6分）
（Ⅱ）取C₁C的中點F，連結DF，AF．
因為DF∥BC，
所以∠ADF為異面直線AD與BC所成的角，即∠ADF=60°．
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
所以$AD=\sqrt{5}$．
在Rt△AFC中，AC=a，CF=1，
所以$AF=\sqrt{{a^2}+1}$．
顯然DF=BC=a．
在△ADF中，由余弦定理，得$cos∠ADF=\frac{{A{D^2}+D{F^2}-A{F^2}}}{2AD•DF}$．
所以$\frac{1}{2}=\frac{{5+{a^2}-（{a^2}+1）}}{{2\sqrt{5}•a}}$，解得$a=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．…（13分）

點評 本題考查異面直線所成角，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．