Question

某民營企業從事M國某品牌運動鞋的加工業務，按照國際慣例以美元結算．依據以往的加工生產數據統計分析，若加工訂單的金額為x萬美元，可獲得的加工費的近似值為萬美元．2011年以來，受美聯儲貨幣政策的影響，美元持續貶值．由于從生產訂單簽約到成品交付要經歷一段時間，收益將因美元貶值而損失mx美元（其中m是該時段的美元貶值指數，且0＜m＜1），從而實際所得的加工費為萬美元．
（1）若某時段的美元貶值指數，為了確保企業實際所得加工費隨x的增加而增加，該企業加工產品訂單的金額x應該控制在什么范圍內？
（2）若該企業加工產品訂單的金額為x萬美元時共需要的生產成本為萬美元．已知該企業的生產能力為x∈[10，20]，試問美元貶值指數m在何范圍內時，該企業加工生產不會出現虧損？（已知）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據知，，可得函數解析式，利用導數大于0，即可得到結論；
（2）設企業加工生產不出現虧損，則當x∈[10，20]時，都有，即10ln（2x+1）-（20m+1）x≥0，求出左邊對應函數的最小值，即可確定貶值指數m的范圍．
解答：解：（1）由已知，，∴
∴
由f'（x）＞0⇒199-2x＞0，解得0＜x＜99.5
即加工產品訂單金額x∈（0，99.5）（單位：萬美元），該企業的加工費隨x的增加而增加．
（2）依題意，設企業加工生產不出現虧損，則當x∈[10，20]時，都有，
即10ln（2x+1）-（20m+1）x≥0，
設g（x）=10ln（2x+1）-（20m+1）x，則
令g（x）=0，則
∵
∴g（x）在[10，20]上是減函數
所以，g（x）_min=g（20）=10ln41-20（20m+1）≥0，∴m≤，又m＞0，
所以，m∈（0，]時，該企業加工生產不會虧損．
點評：本題考查函數解析式的求解，考查導數在求函數最值問題中的應用，解題的關鍵是將企業加工生產不出現虧損，轉化為不等式，再借助于函數的最值進行研究．