Question

已知函數f（x）=x³+bx²+cx的導函數的圖象關于直線x=2對稱．
（1）求b的值；
（2）若f（x）在x=t處取得極小值，記此極小值為g（t），求g（t）的定義域和值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數f（x）=x³+bx2+cx的導函數的圖象關于直線x=2對稱，則求出f′（x）得到一個二次函數，利用x==2求出b即可；（2）求出f′（x），由（1）得函數的對稱軸為x=2，討論c的取值范圍求出g（t）的定義域和值域即可．
解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c
因為函數f′（x）的圖象關于直線x=2對稱，
所以，于是b=-6
（2）由（Ⅰ）知，，f（x）=x³-6x²+cx
f′（x）=3x²-12x+c=3（x-2）²+c-12
（�。┊攃≥12時，f′（x）≥0，此時f（x）無極值．
（ii）當c＜12時，f′（x）=0有兩個互異實根x₁，x₂．
不妨設x₁＜x₂，則x₁＜2＜x₂．
當x＜x₁時，f′（x）＞0，f（x）在區間（-∞，x₁）內為增函數；
當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0，f（x）在區間（x₁，x₂）內為減函數；
當x＞x₂時，f′（x）＞0，f（x）在區間（x₂，+∞）內為增函數．
所以f（x）在x=x₁處取極大值，在x=x₂處取極小值．
因此，當且僅當c＜12時，函數f（x）在x=x₂處存在唯一極小值，所以t=x₂＞2．
于是g（t）的定義域為（2，+∞）．
由f′（t）=3t²-12t+c=0得c=-3t²+12t．
于是g（t）=f（t）=t³-6t²+ct=-2t³+6t²，t∈（2，+∞）．
當t＞2時，g′（t）=-6t²+12t=6t（2-t）＜0
所以函數g（t）在區間（2，+∞）內是減函數，
故g（t）的值域為（-∞，8）
點評：考查學生利用導數求函數函數的單調性及確定函數極值存在位置的能力，以及利用導數求函數最值的能力．利用導數研究函數的單調性是函數的一個極其重要的應用，它大大簡化了證明單調性的方法．