Question

已知R是實數集，實數a、b都是常數，a＞0，f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+x，h(x)是f（x）的導函數，函數F（x）的定義域是{x|x≠0，x∈R}，F(x)=

h(x)，x＞0 -h(x)，x＜0

（I）假設h（-1）=0，且f（x）在（-∞，+∞）上是單調函數，求a、b的值；
（II）假設h（x）是偶函數，m+n＞0，m•n＜0，證明：F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出h（x），得到F（x）的解析式，（I）h（-1）=0，且f（x）在（-∞，+∞）上是單調函數，得出關于a、b的方程與不等式，求解即可；
（II）h（x）是偶函數可得出b=0，由函數的解析式可以得出，F（x）是一個奇函數，也是一個增函數，又m+n＞0，m•n＜0不妨令m＞0，n＜0，結合函數的性質進行進行證明即可

解答：解：由題意h（x）=ax²+bx+1，故F(x)=

ax2+bx +1，x＞0 -ax2-bx -1，x＜0

（I）h（-1）=0得a-b+1=0  ①
f（x）在（-∞，+∞）上是單調函數，a＞0，故h（x）=ax²+bx+1≥0在R上恒成立，即b²-4a≤0②
由①得b=a+1代入②得（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，故a=1，∴b=2
（II）∵h（x）是偶函數，，∴b=0，∴F(x)=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

是一個奇函數，
又a＞0，x＞0，F（x）＞1，x＜0，F（x）＜-1，故在定義域上也是一個增函數，
又m+n＞0，m•n＜0不妨令m＞0，n＜0，，則有m＞-n＞0，故有F（m）＞F（-n）=-F（n），
∴F（m）+F（n）＞0

點評：本題研究函數的單調性與導數的關系，函數單調性的性質，比較抽象，解決問題的關鍵是把題設中的條件進行正確轉化，判斷，解題中善于觀察敢于判斷也很關鍵，如在第二問的求解中，由偶函數的性質得出b=0，進而化簡了F（x），能馬上看出這個分段函數的性質是快捷解題的基礎．