Question

（2013•房山區一模）若不等式組

x-y+5≥0 y≥kx+5 0≤x≤2

表示的平面區域是一個銳角三角形，則k的取值范圍是

（-1，0）

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部，再將直線AC：y=kx+5繞A點旋轉并觀察△ABC形狀的變化，可得當點C位于C₁、C₂之間時，△ABC是銳角三角形，由此建立關于k的不等式組，解之即可得到k的取值范圍．

解答：解：作出不等式組

x-y+5≥0 y≥kx+5 0≤x≤2

表示的平面區域，
得到如圖的△ABC及其內部，其中A（0，5），B（2，7），C（2，2k+5）
△ABC的形狀隨著直線AC：y=kx+5斜率的變化而變化，
將直線AC繞A點旋轉，可得
當C點與C₁（2，5）重合或與C₂（2，3）重合時，△ABC是直角三角形，
當點C位于B、C₁之間，或在C₁C₂的延長線上時，△ABC是鈍角三角形，
當點C位于C₁、C₂之間時，△ABC是銳角三角形，
而點C在其它的位置不能構成三角形
綜上所述，可得3＜2k+5＜5，解之得-1＜k＜0
即k的取值范圍是（-1，0）
故答案為：（-1，0）

點評：本題給出二元一次不等式組，在表示的圖形為銳角三角形的情況下，求參數k的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于基礎題．