Question

有一種闖三關游戲規則規定如下：用拋擲正四面體型骰子（各面上分別有1，2，3，4點數、質地均勻的正四面體）決定是否過關，在闖第n（n=1，2，3）關時，需要拋擲n次骰子，當n次骰子面朝下的點數之和大于n²時，則算闖此關成功，并且繼續闖關，否則停止闖關．每次拋擲骰子相互獨立．
（Ⅰ）求僅闖過第一關的概率；
（Ⅱ）記成功闖過的關數為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）由題意記“僅闖過第一關的概率”這一事件為A，利用獨立事件的概率公式即可；
（II）由于ξ表示成功闖過的關的次數，由題意則ξ的取值有0，1，2，3，并利用隨機變量得到定義求出每一個值下對應的事件的概率，有分布列定義求出其分布列，并根據期望定義求出期望．

解答：解：（Ⅰ）記“僅闖過第一關的概率”這一事件為A，
第1關過了的概率為

3

4

，而第2關沒過的情況有如下三種：（1，1）、（1，2）、（2，1），（2，2）（3，1），（1，3），概率為

6

16

，
所以僅闖過第一關的概率為P（A）=

3

4

×

6

16

=

9

32

（Ⅱ）由題意得，ξ的取值有0，1，2，3，
∵p(ξ=0)=

1

4

，P（ξ=1）=

9

32

P（ξ=2）=

3

4

•

5

8

•

54

64

=

405

1024

P（ξ=3）=

3

4

•

5

8

•

5

32

=

75

1024

即隨機變量ξ的概率分布列為：

ξ	0	1	2	3
p	1 4	9 32	405 1024	75 1024

所以 Eξ=0×

1

4

+1×

9

32

+2×

405

1024

+3×

75

1024

=

1323

1024

點評：此題重在準確理解題意，還考查了獨立事件同時發生的概率公式，隨機變量的定義及其分布列，并利用隨機變量的分布列求其期望．