Question

設函數f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R），
（1）若f（-1）=0且對任意實數x均有f（x）≥0成立，求f（x）表達式；
（2）在（1）的條件下，g（x）=f（x）-16x（x∈[m，10]，其中常數m＞0），區間D為g（x）的值域，若D的長度為23-2m，求此時m的值．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=0，知b=a+1，由f（x）≥0恒成立，知a＞0，且△=（a-1）²≤0，由此能求出f（x）．
（2）由題設知g（x）=x²-14x+1，23-2m=g（x）_max-g（x）_min，由此進行分類討論，能求出m的值．

解答：（本題12分）
解：（1）∵f（-1）=0，∴b=a+1，
由f（x）≥0恒成立，知a＞0，且△=b²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，
∴a=1．
∴f（x）=x²+2x+1．（3分）
（2）∵g（x）=f（x）-16x（x∈[m，10]，其中常數m＞0），區間D為g（x）的值域，
D的長度為23-2m，
∴g（x）=x²-14x+1，23-2m=g（x）_max-g（x）_min，（5分）
①當m∈[7，10）時，23-2m=g（10）-g（t）=-m²+16m，得：m=7或9．（7分）
②當m∈[4，7）時，23-2m=g（10）-g（7），得m=7（舍）．（9分）
③當m∈（0，4）時，23-2m=g（m）-g（7），m²-12m+26=0，
解得：m=

12+2 10

2

（舍）或m=

12-2 10

2

=6-

10

．（11分）
綜合得m=6-

10

，或m=7，或m=9．（12分）

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查滿足條件的實數值．解題時要認真審題，注意配方法、等價轉化思想、分類討論思想的合理運用．