Question

形如

a b c d

的式子叫做二行二列矩陣，定義矩陣的一種運算

a b c d

•

x y

=

ax+bx cx+dy

．該運算的幾何意義為平面上的點（x，y）在矩陣

a b c d

的作用下變換成點（ax+by，cx+dy）．
（1）設點M（-2，1）在

0 1 1 0

的作用下變換成點M′，求點M′的坐標；
（2）設數(shù)列{a_n} 的前n項和為S_n ，且對任意正整數(shù)n，點A（S_n，n）在

0 1 1 0

的作用下變換成的點A′在函數(shù)f（x）=x²+x的圖象上，求a_n的表達式；
（3）在（2）的條件下，設b_n為數(shù)列{1-

1

an

}的前n項的積，是否存在實數(shù)a使得不等式bn

an+1

＜a對一切n∈N^*都成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法的乘法規(guī)則，將問題轉化為矩陣的計算；
（2）由題意S_n=n²+n，從而可求a_n的表達式；
（3）構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性解決恒成立問題．

解答：解：（1）∵

0 1 1 0

-2 1

=

1 -2

∴點M′的坐標為（1，-2）；
（2）∵

0 1 1 0

Sn n

=

n Sn

，∴A′（n，S_n）
∵點A′（n，S_n）在函數(shù)f（x）=x²+x的圖象上，∴S_n=n²+n
當n=1時，a₁=S₁=2
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n
a₁=2滿足上式，∴a_n=2nn∈N^*
（3）bn=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)(1-

1

an

)，設Fn=(1-

1

a1

)(1-

1

a2

)(1-

1

an

)

2n+1

∵

F(n+1)

F(N)

=

2n+1 • 2n+3

2n+2

＜1
∴F（n）＞F（n+1），F(xiàn)（n）單調遞減．
∴當n=1時，F(xiàn)（n）取最大值

3

2

要使不等式bn

an+1

＜a對一切n∈N^*都成立，只需a＞

3

2

所以a的取值范圍為(

3

2

，+∞)

點評：在二階矩陣對應的變換作用下，它將平面上任意一個點（向量）（x，y）對應惟一的一個平面點（向量）（x′，y′）．數(shù)列中的恒成立問題，通常可借助于構造的函數(shù)的單調性進行解決．