Question

已知函數f（x）=loga^（1-x），g（x）=loga^（1+x），（a＞0，a≠1），若F（x）=f（x）+g（x）
（1）求F（x）的定義域；
（2）判斷F（x）的奇偶性并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數的解析式可得

1-x＞0 1+x＞0

，求得-1＜x＜1，從而得到F（x）的定義域．
（2）根據函數F（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱，且F（-x）=F（x），可得函數的奇偶性．

解答：解：（1）由題意可得F（x）=f（x）+g（x）=loga^（1-x）+loga^（1+x）=loga(1-x2)，
再由

1-x＞0 1+x＞0

，求得-1＜x＜1，故F（x）的定義域為（-1，1）．
（2）由于函數F（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱，
且F（-x）=loga[1-(-x)2]=loga(1-x2)=F（x），
故函數F（x）為偶函數．

點評：本題主要考查求函數的定義域，函數的奇偶性的判斷方法，屬于中檔題．