Question

12．已知直線l過點A（-1，0）且與⊙B：x²+y²-2x=0相切于點D，以坐標軸為對稱軸的雙曲線E過點D，一條漸進線平行于l，則E的方程為（　　）

• A． $\frac{3{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{3{y}^{2}}{2}$=1
• C． $\frac{5{y}^{2}}{3}$-x²=1
• D． $\frac{3{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 設直線l：y=k（x+1），求得圓的圓心和半徑，運用正弦和圓相切的條件：d=r，求得斜率k，聯立直線和圓方程解得交點，求出漸近線方程，設出雙曲線方程，代入D的坐標，解方程即可得到所求方程．

解答 解：可設直線l：y=k（x+1），
⊙B：x²+y²-2x=0的圓心為（1，0），半徑為1，
由相切的條件可得，d=$\frac{|k+k-0|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），
聯立x²+y²-2x=0，解得x=$\frac{1}{2}$，y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即D（$\frac{1}{2}$，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由題意可得漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
設雙曲線的方程為y²-$\frac{1}{3}$x²=m（m≠0），
代入D的坐標，可得m=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{12}$=$\frac{2}{3}$．
則雙曲線的方程為$\frac{3{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
故選：D．

點評 本題考查直線和圓相切的條件：d=r，雙曲線的性質：漸近線，考查聯立方程組求交點，以及待定系數法求方程的方法，屬于中檔題．