Question

甲：函數f（x）是奇函數；乙：函數f（x）在定義域上是增函數，對于函數：
①f（x）=

1

x

，
②f（x）=log₂（

x2+1

-x），
③f（x）=x|x|，
④f（x）=

2x-1，x≥0 -2-x+1，x＜0

，
能使甲、乙均為真命題的所有函數的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是函數的性質，根據函數f（x）是奇函數及函數f（x）在定義域上是增函數逐一分析四個條件，不難得到答案．

解答：解：①中，函數f（x）=

1

x

，f（-x）=-

1

x

=-f（x），故f（x）是奇函數，
但f（x）在定義域上不是增函數，故①不滿足甲；
②中，函數f（x）=log₂（

x2+1

-x），f（-x）=log₂（

x2+1

+x），
f（x）+f（-x）=log₂[（

x2+1

-x）•（

x2+1

+x）=log₂1=0，即f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數，
u=

x2+1

-x為增函數，而y=log₂u也為增，
根據復合函數“同增異減”的原則，可得f（x）在定義域上為增函數，符合條件
③中，函數f（x）=x|x|，f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），即f（x）是奇函數，
又∵x∈（-∞，0]時，f（x）=-x²為增函數，x∈[0，+∞）時，f（x）=x²為增函數，
故f（x）在定義域上為增函數，符合條件．
④中，函數f（x）=

2x-1，x≥0 -2-x+1，x＜0

，
當x＞O時，-x＜0，此時f（x）=2^x-1，f（-x）=-2^x+1，滿足f（-x）=-f（x），此時函數為增函數；
當x=O時，f（0）=0，滿足f（-x）=-f（x），
當x＜O時，-x＞0，此時f（x）=-2^-x+1，f（-x）=2^-x-1，滿足f（-x）=-f（x），此時函數為增函數；
故f（x）是奇函數，又在定義域上為增函數，符合條件．
故答案為：②③④

點評：本題綜合的考查了多個函數的性質，解決本題的關鍵是熟練掌握各個函數的性質，然后逐一對照條件，判斷條件是否滿足，即可得到答案．