Question

如圖，一輛汽車從O點出發，沿海岸一條直線公路以100千米/時的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在O點南偏東方向距O點500千米且與海岸距離MQ為300千米的海上M處有一快艇，與汽車同時出發，要把一件重要的物品遞送給這輛汽車的司機，問快艇至少須以多大的速度行駛，才能把物品遞送到司機手中，并求快艇以最小速度行駛時的方向與OM所成的角．

Answer 1

分析：設快艇從M處以v千米/時的速度出發，沿MN方向航行，t小時后與汽車相遇，設∠MON=α，利用余弦定理推出v²=（500×

1

t

-80）²+3 600．求出快艇至少須以60千米/時的速度行駛，設∠MNO=β，推出MN與OM垂直．快艇行駛的方向與OM所成的角．

解答：解：設快艇從M處以v千米/時的速度出發，沿MN方向航行，
t小時后與汽車相遇
在△MON中，MO=500，ON=100t，MN=vt．
設∠MON=α，
由題意，知sinα=

QM

OM

=

3

5

，
則cosα=

4

5

．
由余弦定理，知MN²=OM²+ON²-2OM•ONcosα，
即v²t²=500²+100²t²-2×500×100t×

4

5

．
整理，得v²=（500×

1

t

-80）²+3 600．
當

1

t

=

80

500

，
即t=

25

4

時，v_min²=3 600．
∴v_min=60，
即快艇至少須以60千米/時的速度行駛，
此時MN=60×

25

4

=15×25，MQ=300．
設∠MNO=β，
則sinβ=

300

15×25

=

4

5

．
∴cosα=sinβ．
∴α+β=90°，即MN與OM垂直．
快艇行駛的方向與OM所成的角90°．

點評：本題考查余弦定理的應用，三角形的解法，列出v²=（500×

1

t

-80）²+3600是解題的關鍵，考查計算能力．