Question

（2010•安徽模擬）已知向量

a

=(4cosx，-1)，

b

=(sin(x+

π

3

)，

3

)，且f(x)=

1

2

a

•

b

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并指出其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析：（1）應(yīng)用向量的數(shù)量積公式計(jì)算

a

•

b

，代入f(x)=

1

2

a

•

b

，再利用兩角和的正弦公式，二倍角公式，輔助角公式進(jìn)行化簡，最后化為y=Asin（ωx+φ）的形式，在借助正弦函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間即可．
（2）利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象，當(dāng)x取[0，π]上的值時，求出對應(yīng)的2x+

π

3

的值以及相應(yīng)的y值，就可得到函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的對應(yīng)點(diǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)圖象．

解答：解：（1）∵向量

a

=(4cosx，-1)，

b

=(sin(x+

π

3

)，

3

)，且f(x)=

1

2

a

•

b

∴f(x)=

1

2

(4cosx，-1)•(sin(x+

π

3

)，

3

)
=

1

2

[4cosx•sin(x+

π

3

)-

3

]
=

1

2

[4cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-

3

]
=sinxcosx+

3

cos2x-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x
=sin2xcos

π

3

+ cos2xsin

π

3

=sin(2x+

π

3

)
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
∴單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈z)
（2）y=sin(2x+

π

3

)列表如下：

x	0	π 12	π 3	7π 12	5π 6	π
2x+ π 3	π 3	π 2	π	3π 2	2π	7π 3
y	3 2	1	0	-1	0	3 2

y=sin(2x+

π

3

)圖象如下：

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)公式與函數(shù)y═Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的綜合，先用三角公式把已知函數(shù)化為y═Asin（ωx+φ）的形式，再求圖象與性質(zhì)．