Question

已知動圓過定點，且與直線相切，其中.

（I）求動圓圓心的軌跡的方程；

（II）設A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標

Answer 1

：（I）如圖，設為動圓圓心，為記為，過點作直線的垂線，垂足為，由題意知：

即動點到定點與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，其中為焦點，為準線，所以軌跡方程為

（II）如圖，設，，由題意得（否則）且，所以直線的斜率存在，設其方程為，

顯然，將與聯立消去，

得

由韋達定理知              (*)

1*    當時，即時，

∴，，

∴

由（*）式知：，∴

因此直線的方程可表示為：，即，

∴直線恒過定點

2*  當時，由，得

    

     

將（*）式代入上式整理化簡，得：

，∴

此時，直線的方程可表示為：

即

∴直線恒過定點

∴由1*、2*知，當時，直線恒過定點，

當時直線恒過定點.