Question

已知函數（其中a＞0且a≠1，a為實數常數）．
（1）若f（x）=2，求x的值（用a表示）；
（2）若a＞1，且a^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數m的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先對自變量x分x＜0和x≥0兩種情況去掉函數內的絕對值符號，然后分別令f（x）=2，就可求出x的值．
（2）根據a＞1和t∈[1，2]的條件，對不等式進行等價轉化，將參數m分離，從而轉化成函數求最值問題，最終確定m的取值范圍．
解答：解：（1）當x＜0時f（x）=0，當x≥0時，．…．（2分）
由條件可知，，即a^2x-2•a^x-1=0解得…（6分）
∵a^x＞0，∴…..（8分）
（2）當t∈[1，2]時，…（10分）
即 m（a^2t-1）≥-（a^4t-1）∵a＞1，t∈[1，2]∴a^2t-1＞0，∴m≥-（a^2t+1）…（13分）
∵t∈[1，2]，∴a^2t+1∈[a²+1，a⁴+1]∴-（a^2t+1）∈[-1-a⁴，-1-a²]
故m的取值范圍是[-1-a²，+∞）…．（16分）
點評：本題主要考查了指數的運算性質和函數恒成立問題，函數恒成立問題一般的方法是直接構造函數求最值或分離常數之后在構造函數求最值兩種策略，因為函數表達式中含有絕對值所以，先考慮取絕對值．