Question

若x∈[-

5π

12

，-

π

3

]，則y=tan(x+

2π

3

)-tan(x+

π

6

)的最大值為

4

3

3

．

Answer 1

分析：將所求式子第二項根據cot（x+

2π

3

）=cot[

π

2

+（x+

π

6

）]=tan（x+

π

6

）變形，再利用同角三角函數間的基本關系將兩項切化弦，通分并利用同分母分數的加法法則計算，分子利用同角三角函數間的基本關系化簡，分母利用二倍角的正弦函數公式化簡，分母化為一個角的正弦函數，分子化為常數，由x的范圍求出這個角的范圍，根據正弦函數的增減性得出正弦函數的最小值，即可得到y的最大值．

解答：解：y=tan（x+

2π

3

）-tan（x+

π

6

）
=tan（x+

2π

3

）-cot（x+

2π

3

）
=

sin2(x+ 2π 3 )+cos2(x+ 2π 3 )

sin(x+ 2π 3 )cos(x+ 2π 3 )

=

2

sin(2x+ 4π 3 )

，
∵x∈[-

5π

12

，-

π

3

]，∴2x+

4π

3

∈[

π

2

，

2π

3

]，
此時正弦函數為減函數，
∴當x=-

π

3

，即2x+

4π

3

=

2π

3

時，sin（2x+

4π

3

）最小值為

3

2

，
則y的最大值為

2

3 2

=

4

3

3

．
故答案為：

4

3

3

點評：此題考查了誘導公式，同角三角函數間的基本關系，二倍角的正弦函數公式，以及正弦函數的單調性，將所求式子進行適當的變形是本題的突破點．