Question

5．已知數列{a_n}，a_n=2a_n-1+3，a₁=-1
（1）設b_n=a_n+3，求證：{b_n}為等比數列；
（2）求{$\frac{1}{lo{g}_{2}{b}_{n}lo{g}_{2}{b}_{n+1}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）n≥2，a_n=2a_n-1+3，a₁=-1，變形為a_n+3=2（a_n-1+3），即b_n=2b_n-1，即可證明．
（2）由（1）可得：b_n=2ⁿ.$\frac{1}{lo{g}_{2}{b}_{n}lo{g}_{2}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 （1）證明：∵n≥2，a_n=2a_n-1+3，a₁=-1，∴a_n+3=2（a_n-1+3），
∴b_n=2b_n-1，b₁=2，
∴{b_n}為等比數列，首項為2，公比為2．
（2）解：由（1）可得：b_n=2ⁿ．
$\frac{1}{lo{g}_{2}{b}_{n}lo{g}_{2}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴{$\frac{1}{lo{g}_{2}{b}_{n}lo{g}_{2}{b}_{n+1}}$}的前n項和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、“裂項求和”方法、對數運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．