Question

如圖所示，有兩條相交成60°角的直路XX′和YY′，交點是O，甲、乙分別在OX、OY上，起初甲離O點3 km，乙離O點1 km，后來兩人同時用每小時4 km的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y的方向步行.
（1）起初，兩人的距離是多少？
（2）用t表示t小時后兩人的距離；
（3）什么時候兩人的距離最短？

Answer 1

（1）甲、乙兩人起初的距離是km（2）|PQ|=（3）在第15分鐘末，兩人的距離最短

（1）設甲、乙兩人起初的位置是A、B，則由余弦定理：
|AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA|·|OB|·cos60°
=3²+1²-2×3×1×=7,∴|AB|=.
所以甲、乙兩人起初的距離是km.
（2）設甲、乙兩人t小時后的位置分別是P、Q，
則|AP|=4t，|BQ|=4t，
當0≤t≤時，由余弦定理
|PQ|²=（3-4t）²+（1+4t）²-2（3-4t）（1+4t）·cos60°，
當t＞時，
|PQ|²=（4t-3）²+（1+4t）²-2（4t-3）（1+4t）cos120°.
注意到上面兩式實際上是統一的，
所以|PQ|²=（16t²-24t+9）+（16t²+8t+1）+（16t²-8t-3）=48t²-24t+7，
即|PQ|=.
（3）∵|PQ|=，
∴當t=時，|PQ|的最小值是2.
即在第15分鐘末，兩人的距離最短.