Question

已知點F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點，過原點的直線交橢圓于點A、P，PF垂直于x軸，直線AF交橢圓于點B，PB⊥PA，則該橢圓的離心率e=

2

2

．

Answer 1

分析：由題意得該橢圓的形狀確定，與大小無關．因此設a=1，得P（c，b²），從而A（-c，-b²），可得到直線AF的方程為：y=

b2

2c

（x-c），與橢圓方程聯解得出點B（

4c-b2c

4c2+b2

，

(1-c2)2

1+3c 2

），由此得出PB的斜率k₁，并化簡得k₁=-2c，結合PA的斜率k₂=

b2

c

且PB⊥PA，由k₁k₂=-1列式并解之，可得b=c=

2

2

，最終得出該橢圓的離心率e．

解答：解：根據題意橢圓的離心率為定值，故橢圓的形狀確定，與大小無關
因此設a=1，得橢圓的方程為x2+

y2

b2

=1，
求出橢圓的半焦距c，即得橢圓的離心率．
由F（c，0）及PF⊥x軸，得P（c，b²）
∵PA的中點為坐標原點O
∴A的坐標為（-c，-b²），得直線AF的斜率k=

-b2-0

-c-c

=

b2

2c

∴直線AF的方程為：y=

b2

2c

（x-c）
由

x2+ y2 b2 =1 y= b2 2c (x-c)

聯解，得B的橫坐標x_B=

4c-b2c

4c2+b2

，
將b²=1-c²代入，化簡得x_B=

3c+c3

1+3c2

，代入直線AF方程，得B的縱坐標y_B=

(1-c2)2

1+3c 2

∴直線PB的斜率k₁=

(1-c2)2 1+3c 2 -b2

3c+c3 1+3c2 -c

=-2c
∵PA的斜率k₂=

b2

c

，且PB⊥PA，
∴k₁k₂=-1，得-2c•

b2

c

=-1，解之得b=c=

2

2

因此，該橢圓的離心率e=

c

a

=

2

2

故答案為：

2

2

點評：本題給出滿足特殊條件的橢圓，求該橢圓的離心率，著重考查了橢圓的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．