Question

設函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）滿足：?x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1時，f（x）取極小值-

2

3

．
（1）f（x）的解析式；
（2）當x∈[-1，1]時，證明：函數圖象上任意兩點處的切線不可能互相垂直：
（3）設F（x）=|xf（x）|，證明：x∈(0，

3

)時，F(x)≤

3

4

．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數中不含偶次項，得到b=d=0；求出導函數，令導函數在x=1的值為0，令函數在x=1的值為-

2

3

，列出方程組，求出a，c求出解析式．
（2）設出任意兩個點，求出該兩個點處的導數值，即兩條切線的斜率，求出它們的積的范圍，得到不可能為-1．
（3）求出f（x）d的解析式，利用基本不等式求出最大值，注意檢驗等號能否取得．

解答：解：（1）因為，?x∈R，f（-x）=-f（x）成立，所以：b=d=0，
由：f'（1）=0，得3a+c=0，
由：f(1)=-

2

3

，得a+c=-

2

3

（3分）
解之得：a=

1

3

，c=-1從而，
函數解析式為：f(x)=

1

3

x3-x（5分）
（2）由于，f'（x）=x²-1，
設：任意兩數x₁，x₂∈[-1，1]是函數f（x）圖象上兩點的橫坐標，
則這兩點的切線的斜率分別是：k₁=f'（x₁）=x₁²-1，k₂=f'（x₂）=x₂²-1
又因為：-1≤x₁≤1，-1≤x₂≤1，所以，k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0知：k₁k₂≠-1
故，當x∈[-1，1]是函數f（x）圖象上任意兩點的切線不可能垂直（10分）
（3）當：x∈(0，

3

)時，x²∈（0，3）且3-x²＞0此時F（x）=|xf（x）|=|x(

1

3

x3-x)|=

1

3

x2(3-x2)≤

1

3

×(

x2+3-x2

2

)2=

3

4

當且僅當：x²=3-x²，即x=

6

2

∈(0，

3

)，取等號，故；F(x)≤

3

4

（14分）

點評：利用基本不等式求函數的最值時，一定要注意需要滿足的條件：一正、二定、三相等．