Question

已知函數f（x）=4^x+m•2^x+1有且僅有一個零點，求m的取值范圍，并求出該零點．

Answer 1

【答案】分析：方程（2^x）²+m•2^x+1=0僅有一個實根，設2^x=t（t＞0），則t²+mt+1=0有且只有一個正實數根，考慮應用判別式，
分判別式大于0和等于0兩種情況．
解答：解：∵f（x）=4^x+m•2^x+1有且僅有一個零點，即方程（2^x）²+m•2^x+1=0僅有一個實根．
設2^x=t（t＞0），則t²+mt+1=0．
當△=0，即m²-4=0，∴m=-2時，t=1．當m=2時，t=-1不合題意，舍去．
∴2^x=1，x=0符合題意．
當△＞0，即m＞2或m＜-2時，
關于t的方程t²+mt+1=0應有一正一負根，即t₁t₂＜0，這與t₁t₂＞0矛盾，∴這種情況不可能．
綜上可知：m=-2時，?（x）有唯一零點，該零點為x=0．
點評：本題考查函數的零點與對應的方程的跟的關系，就是對應方程的根，屬于基礎題．