Question

如圖，多面體ABC-A₁B₁C₁中，三角形ABC是邊長為4的正三角形，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁⊥平面ABC，AA₁=BB₁=2CC₁=4。

（1）若O是AB的中點，求證：OC⊥A₁B；
（2）在線段AB₁上是否存在一點D，使得CD∥平面A₁B₁C₁，若存在確定點D的位置；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）設線段A₁B₁的中點為E，
由AA₁⊥平面ABC得AA₁⊥AB，
又BB₁∥AA₁，
所以AA₁B₁B是正方形，點O是線段AB的中點，
所以OE∥AA₁，
所以OE⊥A₁B₁，
由AA₁⊥平面ABC得AA₁⊥AC，
又BB₁∥AA₁∥CC₁，
所以BB₁⊥BC，CC₁⊥AC，CC₁⊥BC
且AC=4，AA₁=4，CC₁=2，
所以A₁C₁=B₁C₁，
所以C₁E⊥A₁B₁，
所以A₁B₁⊥平面DC₁E，
所以OC₁⊥A₁B₁。
（Ⅱ）設OE∩AB₁=D，則點D是AB₁的中點，
所以ED∥AA₁，
從而ED∥CC₁，ED=CC₁、
所以四邊形CC₁ED是平行四邊形，
所以CD∥C₁E，
所以CD∥平面A₁B₁C₁，
即存在點D使得CD∥平面A₁B₁C₁，點D是AB₁的中點。