Question

復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為

3

5

.

z

，O為原點(diǎn)，△AOB是面積為

6

5

的直角三角形，argz∈（0，

π

2

），求復(fù)數(shù)z的值．

Answer 1

分析：由題意知，有兩個(gè)角可能是直角，針對(duì)于兩個(gè)角展開討論，當(dāng)∠AOB=90°時(shí)根據(jù)復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和三角形的面積得到要求的結(jié)果，同理當(dāng)∠ABO=90°時(shí)，也可以做出結(jié)果．

解答：解：對(duì)于那一個(gè)角為直角不清楚，需要討論
∵|OA|=|z|＞

3

5

|

.

z

|=|OB|，
∴∠A不可能是直角，
∴可能∠AOB=90°或∠ABO=90°．
若∠AOB=90°，示意圖如圖所示．
∵z與

.

z

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于
實(shí)軸對(duì)稱，
∴argz=45°，
S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

|z|•

3

5

|

.

z

|=

3

10

|z|²=

6

5

．于是，|z|=2，
∴z=2（cos45°+isin45°）=

2

+

2

i．

若∠ABO=90°，示意圖如圖所示．
∵z與

.

z

所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，且∠AOB＜90°，故argz=θ＜45°．
令z=r（cosθ+isinθ），則
cos2θ=

|OB|

|OA|

=

3

5

，sin2θ=

4

5

，
S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin2θ
=

1

2

r•

3

5

r•

4

5

=

6

25

r²=

6

5

．
∴r=

5

．又cosθ=

2

=

2 5

5

，
sinθ=

1-cos2θ

=

5

5

，
∴z=

5

（

2 5

5

+

5

5

i）=2+i．
綜上所述，z=

2

+

2

i或z=2+i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的簡單運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義，是一個(gè)綜合題，這是一個(gè)數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的典型題目，是一個(gè)中檔題．