Question

下面的四個不等式：
①a²+b²+c²≥ab+bc+ca；
②a(1-a)≤

1

4

；
③

a

b

+

b

a

≥2；
④（a²+b²）•（c²+d²）≥（ac+bd）²．
其中不成立的有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①使用作差法證明．②利用二次函數的性質．③使用基本不等式證明．④作差法證明．

解答：解：①因為2（a²+b²+c²）-2（ab+bc+ca）=（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，所以a²+b²+c²≥2（ab+bc+ca）成立，所以①正確．
②因為a(1-a)=-a2+a=-(a-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，所以②正確．
③當a，b同號時有

a

b

+

b

a

≥2，當a，b異號時，

a

b

+

b

a

≤-2，所以③錯誤．
④（a²+b²）•（c²+d²）-（ac+bd）²=a²d²-2abcd+b²c²=（ad-bc）²≥0，所以④正確．
所以不成立的是③．
故選A．

點評：本題的考點是利用各種方法去證明和判斷不等式．