Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知數列{a_n}的各項都為正數，且對任意n∈N^*都有2pS_n=a_n²+pa_n（其中p＞0為常數）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若對任意n∈N^*都有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1成立，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用數列遞推式確定首項，再寫一式，兩式相減，即可得到結論；
（2）利用裂項法可求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，結合

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1成立，即可求p的取值范圍，求p的取值范圍．

解答：解：（1）當n=1時，2pS₁=a₁²+pa₁，∴a₁=p，
∵2pS_n=a_n²+pa_n，∴n≥2時，2pS_n-1=a_n-1²+pa_n-1，
兩式相減可得p（a_n+a_n-1）=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=p
∴數列{a_n}是首項和公差都為p的等差數列
∴a_n=np；
（2）由（1）知Sn=

n(p+np)

2

，∴

1

Sn

=

2

p

(

1

n

-

1

n+1

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

p

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

2

p

(1-

1

n+1

)=

2

p

•

n

n+1

∵對任意n∈N^*都有

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1成立，
∴

2

p

•

n

n+1

＜1
∴

n

n+1

＜

p

2

∵

n

n+1

＜1
∴

p

2

≥1，即p≥2．

點評：本題考查數列遞推式，考查等差數列的證明，考查裂項法的運用，屬于中檔題．