Question

已知二項(xiàng)式(

x

+

1

2 4 x

)n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n；
（2）求展開式中的一次項(xiàng)；
（3）求展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和．

Answer 1

（1）前三項(xiàng)的系數(shù)為

C

0n

，

1

2

C

1n

，

1

4

C

2n

，…（1分）
由題設(shè)，得 

C

0n

+

1

4

×

C

2n

=2×

1

2

×

C

1n

，…（2分）
即n²-9n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）．           …（4分）
（2）Tr+1=

C

r8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=

C

r8

(

1

2

)rx4-

3r

4

，…（6分）
令4-

3r

4

=1，得r=4．…（8分）
所以展開式中的一次項(xiàng)為T5=

C

48

(

1

2

)4x=

35

8

x．…（10分）
（3）∵C₈⁰+C₈¹+C₈²+…+C₈⁸=2⁸=256，
∴所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256．…（14分）