Question

高考數學考試中有12道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有一個是正確的．評分標準規定：“在每小題中給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，答對得5分，不答或答錯得0分”．某考生每道選擇題都選出一個答案，能確定其中有道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道題都可判斷出兩個選項是錯誤的，有一道題能判斷出一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜．試求出該考生的選擇題：
（Ⅰ）得60分的概率；
（Ⅱ）得多少分的概率最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）要得60分，必須12道選擇題全答對，依題意，易知在其余四道題中，有兩道題答對的概率各為

1

2

，有一道題答對的概率為

1

3

，還有一道題答對的概率為

1

4

，由此能求出他做選擇題得60分的概率．
（Ⅱ）依題意，該考生選擇題得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5種．得分為40，表示只做對有把握的那8道題，其余各題都做錯．類似的，能夠求出得45分為的概率、得分為50的概率、得分為55的概率和得分為60的概率由此能得到最終結果．

解答：解：（Ⅰ）要得60分，必須12道選擇題全答對，
依題意，易知在其余四道題中，有兩道題答對的概率各為

1

2

，有一道題答對的概率為

1

3

，還有一道題答對的概率為

1

4

，所以他做選擇題得60分的概率為：P=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

（Ⅱ）依題意，該考生選擇題得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5種．
得分為40，表示只做對有把握的那8道題，其余各題都做錯，于是其概率為：P1=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

6

48

類似的，可知得45分為的概率：P2=2×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

得分為50的概率：P3=

17

48

；得分為55的概率：P4=

7

48

；得分為60的概率：P5=

1

48

∴該生選擇題得分為45分或50分的可能性最大．

點評：本題考查概率的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意概念乘法公式的合理運用．