Question

已知函數f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數，當x=1時f（x）取得極值-2．
（1）求f（x）的單調區間和極大值；
（2）證明對任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由奇函數的定義利用待定系數法求得d，再由x=1時f（x）取得極值-2．解得a，c從而確定函數，再利用導數求單調區間和極大值．
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數，從而確定|f（x₁）-f（x₂）|最小值，證明即可．
解答：解：（1）由奇函數的定義，應有f（-x）=-f（x），x∈R
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d∴d=0
因此，f（x）=ax³+cxf'（x）=3ax²+c
由條件f（1）=-2為f（x）的極值，必有f'（1）=0，故
解得a=1，c=-3
因此，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）f'（-1）=f'（1）=0
當x∈（-∞，-1）時，f'（x）＞0，故f（x）在單調區間（-∞，-1）上是增函數
當x∈（-1，1）時，f'（x）＜0，故f（x）在單調區間（-1，1）上是減函數
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，故f（x）在單調區間（1，+∞）上是增函數
所以，f（x）在x=-1處取得極大值，極大值為f（-1）=2
（2）由（1）知，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數，
且f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2
所以，對任意的x₁，x₂∈（-1，1），恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=2-（-2）=4
點評：本小題主要考查函數的單調性及奇偶性，考查運用導數研究函數單調性及極值等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．