Question

如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=

1

2

CD=2，DE=3，M為CE的中點．
（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求直線DB與平面BEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取DE中點N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結合已知易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）取D為原點，DA、DC、DE所在直線分別為x，y，z軸，建立直角坐標系，求出平面BEC的一個法向量，設DB與平面BEC所成角為α，利用sinα=|cos＜

DB

，

m

＞|，可求直線DB與平面BEC所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：取DE中點N，連結MN，AN
在△EDC中，M，N分別為ED，EC的中點，
所以MN∥CD，且MN=

1

2

CD
又已知AB∥CD，且AB=

1

2

CD，所以MN∥AB，且MN=ABk
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN；
又因為AN?平面BEC，且BM?平面BEC
所以MM∥平面ADEF；…（6分）
（II）解：在矩形ADEF中，ED⊥AD，
又因為平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，又AD⊥CD，
所以，取D為原點，DA、DC、DE所在直線分別為x，y，z軸，建立直角坐標系，則D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，3）
設

m

=（x，y，z）為平面BEC的一個法向量．
因為

BC

=（-2，2，0），

CE

=（0，-4，3），
所以

-2x+2y=0 -4y+3z=0

，令x=1，得y=1，z=

4

3

，所以

m

=(1，1，

4

3

)，

DB

=(2，2，0)
設DB與平面BEC所成角為α，則sinα=|cos＜

DB

，

m

＞|=

| DB • m |

| DB || m |

=

4

4+4 • 1+1+ 16 9

=

3 17

17

所以，DB與平面BEC所成角的正弦值為

3 17

17

．…（13分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，確定平面的法向量是關鍵．