Question

2011年3月，日本發生了9.0級地震，地震引發了海嘯及核泄漏，某國際組織計劃派出12名心理專家和18名核專家赴日本工作，臨行前對這30名專家進行了總分為1000分的綜合素質測評，測評成績用莖葉圖進行了記錄，如圖（單位：分）．規定測評成績在976分以上（包括976）為“尖端專家”，測評成績在976分以下為“高級專家”，且只有核專家中的“尖端專家”才可以獨立開展工作，這些專家先飛抵日本的城市E，再分乘三輛汽車到達工作地點福島縣．已知從城市E到福島縣有三條公路，因地震破壞了道路，汽車可能受阻．據了解：汽車走公路I和公路II順利到達的概率都為；走公路III順利到達的概率為，甲、乙、丙三輛車分別走公路I、II、III，且三輛汽車是否順利到達相互之間沒有影響．
（I）如果用分層抽樣的方法從“尖端專家”和“高級專家”中選取6人，再從這6人中選2人，那么至少有一人是“尖端專家”的概率是多少？
（Ⅱ）求至少有兩輛汽車順利到達福島縣的概率；
（Ⅲ）若從所有“尖端專家”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能獨立開展工作的人數，試寫出ξ的數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據莖葉圖和由分層抽樣的特點可知6人中“尖端專家”2人，“高級專家”4人，可得P=1-，計算可得；
（Ⅱ）記“汽車從公路I順利到達”為事件A，“汽車從公路II順利到達”為事件B，“汽車從公路III順利到達”為事件C，則P=P（AB）+P（AC）+P（BC）+P（ABC），由獨立事件的概率計算可得；（Ⅲ）由莖葉圖可知，心理專家中的“尖端專家”為7人，核專家中的“尖端專家”為3人，可得ξ的取值為0，1，2，3，分別求概率可得分布列，可得期望．
解答：解：（I）根據莖葉圖可知，有“尖端專家”10人，“高級專家”20人，
每個人被抽到的概率是=，
由分層抽樣可知選出的“尖端專家”10×=2人，“高級專家”20×=4人，
用事件A表示至少有一名“尖端專家”被選中，則P（A）=1-=1-=
故至少有一人是“尖端專家”的概率是
（Ⅱ）記“汽車從公路I順利到達”為事件A，“汽車從公路II順利到達”為事件B，
“汽車從公路III順利到達”為事件C，則至少有兩輛汽車順利到達福島縣的概率為
P=P（AB）+P（AC）+P（BC）+P（ABC）
=+++=；
（Ⅲ）由莖葉圖可知，心理專家中的“尖端專家”為7人，核專家中的“尖端專家”為3人，
依題意可得ξ的取值為0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，
故可得分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P

故ξ的數學期望Eξ==
點評：本題考查離散型隨機變量的期望，涉及莖葉圖和獨立事件的概率公式，屬中檔題．